Dopo la formulazione della legge di Coulomb, l'elettrostatica divenne una scienza matematica.
Il suo problema principale è questo: data la quantità totale di elettricità nei corpi conduttori, calcolare la distribuzione delle cariche su di essi sotto l'azione della loro mutua influenza, ed anche le forze dovute alla presenza di queste cariche. Lo sviluppo di questo problema matematico è interessante per il fatto che esso venne ben presto modificato, dalla sua formulazione originale basata sulla teoria dell'azione a distanza, in una teoria dell'azione pseudocontigua: al posto delle sommatorie delle forze di Coulomb, si ottenevano delle equazioni differenziali nelle quali il campo E o una quantità correlata chiamata potenziale compariva come incognita. Non possiamo qui discutere ulteriormente queste questioni puramente matematiche, ma citiamo soltanto i nomi di Laplace (1782), Poisson (1813), Green (1828) e Gauss (1840), che hanno rivestito un ruolo molto importante nella loro risoluzione. Vogliamo sottolineare soltanto un punto. In questa trattazione dell'elettrostatica, che è solitamente chiamata la teoria del potenziale, non abbiamo a che fare con una vera teoria dell'azione contigua, poichè le equazioni differenziali si riferiscono soltanto alle variazioni dell'intensità del campo da punto a punto, e non contengono termini che esprimono una variazione nel tempo. Pertanto, esse non implicano la trasmissione della forza con velocità finita ma, nonostante la loro forma differenziale, esse rappresentano un'azione istantanea a distanza.